孤立點

集合的孤立點是一座孤零零的前哨——它是集合的成員,周圍卻是空曠一片,附近再沒有該集合的其他點。你能圍著它畫一個小圓,而圈不住集合裡的任何別的點。

確切地說,集合 S 的點 p 是孤立點,是指存在某個半徑 r > 0,使得 S 中與 p 距離小於 r 的點只有 p 自身:鄰域 (p - r, p + r) 與 S 的交集恰為 {p}。等價地說,p 屬於 S 但不是 S 的聚點——沒有由 S 中其他點構成的序列趨近它。

孤立點對連續性有一種悄然重要的意義:函數在其定義域的每個孤立點處自動連續,無須證明。那裡沒有可供比較的鄰近行為,因此 ε-δ 條件平凡地成立(任何足夠小的 δ 都把該點孤立出來)。這正是為什麼連續性的實質內容完全寄居於聚點之上。