子數列

子數列是你透過有選擇地閱讀一個數列而得到的東西——保留某些項，跳過另一些，但絕不倒退。想像快速翻閱一本厚書，只按順序讀第 1、4、5、9……章：你保持原有順序，挑出無窮多項。

正式來說，給定數列 (a_n)，選取嚴格遞增的索引 n_1 < n_2 < n_3 < ...；所得數列 (a_{n_k}) 即為子數列。嚴格遞增的要求正是禁止重用或重排各項的所在，它迫使 n_k >= k，因此子數列在索引上總像其母數列一樣奔向無窮。

子數列是使發散與極限行為聚焦的透鏡。一個基本事實是：若 a_n -> L，則每個子數列也收斂到 L。其逆否命題是一個有力的發散判別法——若兩個子數列趨於不同的極限，則原數列不可能收斂。作為子數列極限出現的值稱為子數列極限，它們直接餵給上極限與下極限的概念。