下極限

下極限是上極限的鏡像：數列的「最終低水位線」。它是各項無窮多次反覆逼近的最小值——它們一再沉至（或趨向）的那道地板，無論它們可能反彈得多高。

如同上極限，有兩個等價描述。其一，liminf a_n 是最小的子數列極限（允許 -無窮）。其二，便於計算：liminf a_n = lim_{n->inf} ( inf_{k >= n} a_k )。內層下確界 inf_{k >= n} a_k 是從索引 n 起尾部的最低值；隨著尾部收縮這些下確界遞增，其極限即下極限。

與上極限一樣，下極限對每個數列都在擴充實數中存在，且總有 liminf a_n <= limsup a_n。二者相等於一個公共的有限值 L，恰好就是 a_n -> L 的條件。於是下極限與上極限把數列所有長程行為夾在一道有保證的地板與一道有保證的天花板之間。