擴充實數

擴充實數是在普通實數上再焊接兩個新端點：最右端的正無窮和最左端的負無窮。添加這兩個理想點，能讓關於極限和界的陳述免去彆扭的例外情形。

形式上，人們附加兩個符號，正無窮與負無窮，規定負無窮小於每個實數，每個實數小於正無窮。許多算術法則自然地延拓，例如對有限的 x 有 x 加無窮等於無窮，正數乘無窮等於無窮。一大便利是：在這個系統中每個集合都有上確界與下確界，無上界的集合上確界為正無窮，空集的上確界為負無窮。

好處體現在極限語言上。在擴充實數中，發散到無窮的序列如今有了極限，即正無窮；任何序列的上極限與下極限在那裡總是存在。測度論與積分學嚴重依賴這一約定，因為測度與積分常常被允許取正無窮。

代價是擴充實數不再是體，因為某些組合根本無定義。無窮減無窮以及零乘無窮沒有一致的取值，必須當作未定式處理，這恰是洛必達法則要解決的情形。人們使用擴充實數是為了它的序結構與極限結構，而非為了無拘束的算術。