測度

測度是一種為集合精確指派「大小」——長度、面積、體積、機率——的方法，並且這種指派要符合大小本應有的性質。若把一塊區域切成互不重疊的若干片，這些片的大小之和應當等於整體的大小。測度正是完成這件事的數學機器，而關鍵在於，它對無窮多片也照樣成立。

形式地說，固定一個集合 X 與 X 的子集構成的一個西格瑪代數 A（即「可測」集族）。測度是從 A 到擴充非負實數 [0, +無窮] 的一個函數 mu，滿足 mu(空集) = 0，且具有可數可加性：對任意一列兩兩不相交的集合 A_1, A_2, ...（均屬於 A），有 mu(諸 A_n 之聯集) = sum mu(A_n)。三元組 (X, A, mu) 稱為測度空間。

可數可加性是問題的核心，正是它使測度論比樸素的面積概念更為強大。它嚴格強於有限可加性：確實存在有限可加但非可數可加的集函數，但它們太弱，無法支撐一套良好的積分理論。還須注意，測度允許取值 +無窮（整條實直線在勒貝格測度下即如此），且兩個不同的可測集可以有相同的測度。