測度的單調性

測度的單調性是一條聽來顯然卻至關重要的法則：較小的集合不可能有更大的大小。若一個集合含於另一個之內，則內者的測度至多等於外者的測度。它是整套理論保序的脊梁，使用得如此頻繁，以至於很少被明說出來。

形式地說，若 mu 是測度，A 是 B 的子集且二者皆可測，則 mu(A) 至多為 mu(B)。證明只需一行：把 B 寫成 A 與 B 減 A 的不相交聯集，對其用可加性得 mu(B) = mu(A) + mu(B 減 A)，再注意 mu(B 減 A) 非負即可。同樣一行的論證適用於任何非負可加集函數，包括外測度。

單調性使你能夠把一個複雜集合的測度夾在你所理解的集合之間來加以估界，它也是貫穿積分的夾擠式估計的基礎。一點值得指出的注意事項：僅當 A 含於 B 時才有 mu(B) = mu(A) + mu(B 減 A)；對一般相互重疊的集合，正確的工具是次可加性 mu(A 聯 B) 至多 mu(A) + mu(B)，而非等式。