西格瑪代數

西格瑪代數是一套登記規則，用以決定哪些集合允許被測量。人們無法對實直線的每一個子集都一致地指派長度——有些集合過於狂野——因此事先選定一族整潔的「可接受」集合，並只要求這族集合對實際用到的運算封閉：取補集與作可數聯集。

確切地說，集合 X 的子集族 A 稱為 X 上的一個西格瑪代數，若它包含 X 本身，對取補封閉（A 屬於 A 蘊涵 X 減 A 屬於 A），且對可數聯集封閉（若 A_1, A_2, ... 均屬於 A，則它們的聯集也屬於 A）。由這些公理可推出 A 也含空集，並由德摩根律對可數交集封閉，對集合之差也封閉。

前綴「西格瑪」標示的是可數封閉而非僅有限封閉——正是這一點使極限運算得以良好運作。許多自然的西格瑪代數並非靠列舉成員來描述，而是定義為包含某生成族的最小者：博雷爾西格瑪代數即由開集生成。對任一給定族，總存在包含它的最小西格瑪代數，因為任意多個西格瑪代數之交仍是西格瑪代數。