單調收斂定理

這條定理說，一個只往上爬卻被天花板壓住的數列，除了升到那天花板的最低可能值之外無處可去。直觀上，一個無法向上逃逸的遞增數列必定堆擠在它最緊的上界處——而那個堆擠點就是它的極限。

確切來說：每個有上界的遞增數列都收斂，其極限等於其取值集合的上確界；對偶地，每個有下界的遞減數列都收斂到其取值的下確界。所以對單調數列而言，有界恰好等價於收斂——這是極限理論中難得乾淨的「當且僅當」。

這條定理是實數完備性的直接推論：正是上確界的存在（由最小上界性質保證）提供了那個極限。事實上在有理數中這一陳述是假的，因為一個有界遞增的有理數數列，其上確界可能恰好落在某個不屬於有理數的無理數上。這是說明完備性為何要緊的最乾淨的例證之一。