通項判別法

通項判別法是第一件要檢查的事，它唯一誠實的職責是揪出失敗者：若一個級數的各項不趨向零，則該級數絕無可能收斂。它是一個快速的淘汰工具，而非通往收斂的護照。

確切地說：若 sum a_n 收斂，則 a_n -> 0。取其逆否命題即得可用形式——若 a_n 不趨向 0（或趨向非零極限，或根本沒有極限），則 sum a_n 發散。證明只需一行：a_n = s_n - s_{n-1}，若 s_n -> S，則 a_n -> S - S = 0。

至關重要的告誡，對每個學生反覆強調：其逆命題不成立。條件 a_n -> 0 對收斂是必要而非充分的。調和級數 sum 1/n 的各項趨於 0 卻發散。因此當判別法顯示 a_n -> 0 時，它什麼也沒告訴你——判別法此時無效，你必須動用更強的工具，例如比較、比值、根值或積分判別法。