調和級數

調和級數是本學科中最著名的警世故事：你把 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 加起來，儘管每個新項都比前一項更小、且各項穩步趨向零，總和卻仍無界攀升。它是「小項不足以保證級數收斂」的經典證明。

形式上它是 sum_{n=1}^無窮 1/n，即 p = 1 的 p-級數。奧雷姆的經典分組論證給出發散：把各項分組為 1，再是 1/2，再是 (1/3 + 1/4)，再是 (1/5 + ... + 1/8)，依此類推；每一組的和都至少是 1/2，故部分和超過任何界限。等價地可用積分判別法，因為 1/x 從 1 到無窮的積分為無窮。

其發散慢得驚人：前 N 項的部分和約為 ln N + gamma，其中 gamma ≈ 0.5772 是歐拉–馬歇羅尼常數。要超過 100，你需要約 e^100 量級的項數。這是說明 n 項判別法是必要而非充分的教科書例子——a_n -> 0 並不保證收斂。