積分判別法

積分判別法利用了一幅簡單的圖景：一個遞減正項級數就像坐落在一條遞減函數圖像之下（與之上）的矩形階梯。這些矩形的總面積——也就是級數——被夾在曲線下面積的兩個副本之間，因此級數與反常積分同時收斂或同時發散。

確切地說，設 f 是 [1, 無窮) 上的正的、遞減的連續函數，且 f(n) = a_n。則 sum_{n=1}^無窮 a_n 收斂當且僅當 f 從 1 到無窮的反常積分有限。矩形估計甚至給出誤差界：前 N 項之後的餘項介於 f 從 N+1 到無窮的積分與從 N 到無窮的積分之間，這對數值估計很方便。

必須滿足兩個誠實的條件：各項須最終為正且最終遞減——若 f 來回擺動，判別法什麼也不說。它是通向 p-級數判據最乾淨的途徑，因為 1/x^p 在 [1, 無窮) 上的積分恰當 p > 1 時有限；它同樣能判定諸如 sum 1/(n (ln n)^p) 這類邊界級數。