瑕積分

普通黎曼積分需要有界區間上的有界函數。瑕積分把這一想法推廣到定義所禁止的兩種情形:一個伸向無窮的區間,或一個在端點處爆破的函數。兩種情形的訣竅相同——先在一塊安全的有限、有界片段上積分,再讓該片段朝禁區擴張並取極限。

對無界區域,f 從 a 到無窮的積分定義為:當 b -> infinity 時 f 從 a 到 b 的積分的極限,只要該極限存在且有限。對在 b 處有奇點的無界被積函數,f 從 a 到 b 的積分是:當 c 從下方趨於 b 時 f 從 a 到 c 的積分的極限。若相關極限存在,我們說瑕積分收斂;否則發散。

收斂與否取決於 f 衰減或爆破的快慢。1/x^p 從 1 到無窮的積分恰當 p > 1 時收斂,而 1/x^p 從 0 到 1 的積分恰當 p < 1 時收斂——兩個分界點互為鏡像。還須當心只條件收斂的積分:(sin x)/x 從 0 到無窮的積分收斂,但其絕對值的積分發散,故其值微妙地依賴於相消而非絕對大小。