條件收斂

條件收斂是一種完全依賴相消而存在的收斂。級數收斂，但僅僅因為正項與負項不斷地幾乎相互抵消；一旦剝去符號，總面積便是無窮。這種收斂是脆弱的——它依賴於各項到來的次序。

確切地說，若級數 sum a_n 收斂而 sum |a_n| 發散，則稱其條件收斂。標準樣本是交錯調和級數 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...，它收斂到 ln 2，而其絕對值級數即調和級數發散到無窮。交錯級數判別法確證其收斂；通項判別法與積分判別法確證其絕對發散。

其本質的脆弱性由黎曼重排定理刻畫：一個條件收斂的實級數，其各項可重新排序使之和為任意指定的實數，或使之發散。在一個條件收斂級數中，僅正項之和為 +無窮，僅負項之和為 -無窮，正是精確的交織產生了那個有限的和。絕對收斂級數則全無此患。