重排定理

對普通的有限加法，加數的次序從不要緊——a + b + c 等於 c + a + b。重排定理揭示：除非收斂是絕對的，否則這條令人安心的法則對無窮級數會失效。重排一個條件收斂級數，你便能把它的和操縱到任何你想要的地方。

黎曼定理把這一點表述得很尖銳：若 sum a_n 是一個條件收斂的實數級數，則對任意目標值 S（包括 +無窮 或 -無窮），都存在一個重排——即指標集到自身的一個雙射——使重排後的級數收斂到 S；也存在使之發散或振盪的重排。其機制在於：正部與負部各自之和皆為無窮，故可貪婪地堆疊正項直到越過目標，再堆疊負項直到不及目標，如此永遠重複。

與之相伴的正面結果同樣重要：若 sum a_n 絕對收斂，則其每一個重排都收斂到同一個和。因此，絕對收斂恰恰是「求和次序無關緊要」所成立的條件。該定理是一記鮮明的警告：有限和的代數不可盲目地搬用到無窮和上。