p-級數

p-級數考察各項收縮的快慢如何決定其和是否有限。你把冪的倒數加起來：指數 p 越大，各項下降越快，而在某個尖銳的臨界點上，和會從無限翻轉為有限。

p-級數即 sum_{n=1}^無窮 1/n^p，其中 p 是固定實數。乾淨的判據是：它收斂當且僅當 p > 1，而當 p <= 1 時發散。邊界情形 p = 1 即調和級數，它發散；p = 2 給出收斂的和 1 + 1/4 + 1/9 + ... = pi^2/6。臨界值 p = 1 確實是一道刀刃——p = 1 時收斂失敗，但對每個 p > 1，無論多麼接近 1，收斂都成立。

最乾淨的證明是積分判別法：1/x^p 在 x >= 1 上為正且遞減，而 1/x^p 從 1 到無窮的反常積分恰當 p > 1 時收斂。由於 p-級數遍歷了全部衰減速率，它是比較判別法與極限比較判別法用來分類許多其他級數的基準族。