無窮級數與收斂
極限比較判別法
極限比較判別法對比較判別法作了精煉：它不再追問一個級數是否逐項更小，而是追問兩個級數在長程中是否本質上以相同的速率增長。若它們的各項最終成比例，那麼兩個級數共存亡——你不再需要一個乾淨的不等式，只需相匹配的漸近行為。
確切地說，設 a_n > 0 且 b_n > 0，並設極限 L = lim (a_n / b_n) 存在。若 0 < L < 無窮，則 sum a_n 與 sum b_n 要麼同時收斂，要麼同時發散。還有單側變體：若 L = 0 且 sum b_n 收斂，則 sum a_n 收斂；若 L = 無窮 且 sum b_n 發散，則 sum a_n 發散。有限非零的情形是迄今最常用的。
它在實踐中為何有用：它使你免於構造精確的不等式，那有時頗為繁瑣。你只需讀出 a_n 在大 n 時的主導行為，選一個具有相同主導行為的 b_n（通常是 p-級數），再計算比值的極限。誠實的限制是：各項必須（最終）為正，且比值必須存在一個真正的極限。
取 a_n = (2n + 1)/(n^3 + 5)，令 b_n = 1/n^2；則 a_n / b_n -> 2，是有限非零極限。由於 sum 1/n^2 收斂，故 sum (2n + 1)/(n^3 + 5) 也收斂。
把漸近行為匹配到 p-級數，無需不等式即可判定收斂。
另見