比值判別法

比值判別法追問每一項與前一項相比大小如何。若長程來看每一項都比其前驅小一個固定的比例，則該級數表現得像一個收縮的幾何級數而收斂；若每一項傾向於更大，則它爆漲。當各項含有階乘或指數時，這是首選的判別法。

形式上，考慮 L = lim |a_{n+1} / a_n|（若普通極限不存在，則取上極限）。則：若 L < 1，級數 sum a_n 絕對收斂；若 L > 1（或比值趨於無窮），級數發散；若 L = 1，判別法無效，不提供任何資訊。證明的思路正是幾何比較：當 L < 1 時，尾段被一個公比略大於 L 的收斂幾何級數所控制。

對 L = 1 這一盲點要坦白：每個 p-級數的比值極限都是 1，然而有些收斂（p > 1）有些發散（p <= 1），故比值判別法無法區分它們。當 L = 1 時，改用根值判別法（它至少同樣有力）、積分判別法或比較判別法。比值判別法恰恰在比值有一個遠離 1 的乾淨極限時大放異彩。