根值判別法

根值判別法追問：透過對每項大小取 n 次方根所提取出的、每項典型的縮放因子是多少？若該縮放因子最終低於一，則各項以幾何方式衰減，級數收斂；若它超過一，則各項甚至不趨於零，級數發散。當一項本身是 n 次冪時，這是天然的判別法。

形式上，令 L = limsup |a_n|^{1/n}（上極限，它在廣義實數中總是存在）。則：若 L < 1，級數絕對收斂；若 L > 1，級數發散；若 L = 1，判別法無效。使用上極限而非普通極限，使得即便 |a_n|^{1/n} 振盪，根值判別法依然適用，這也是它在初等的比值型判別法中理論上最為銳利的原因之一。

與比值判別法的精確比較：凡比值判別法能下結論之處，根值判別法都給出相同結論，但存在根值判別法能判定而比值判別法不能的級數。代價是 n 次方根有時比比值更難計算。與比值判別法一樣，它恰在 L = 1 處無能為力，那裡 p-級數再次構成邊界例子。