幾何級數

幾何級數是這樣一種和：每一項都是前一項的固定倍數——你一遍又一遍地用同一個比率去縮放。若該比率使每一項都趨向零，那麼這無盡的和便會穩定下來；若不然，和就會失控。

具體地，幾何級數形如 a + a r + a r^2 + a r^3 + ... = sum a r^n，其中 a 是首項，r 是公比。當 r 不等於 1 時，其部分和有封閉形式 s_N = a (1 - r^{N+1}) / (1 - r)。當 N -> 無窮時，恰當 |r| < 1 才有 r^{N+1} -> 0，由此得到著名公式：當 |r| < 1 時 sum_{n=0}^無窮 a r^n = a / (1 - r)。若 |r| >= 1（且 a 非零），級數發散。

幾何級數是收斂論的主力：比較判別法、比值判別法與根值判別法都隱含地以它為標尺來衡量其他級數，而且它是少數幾個能給出精確封閉和的級數之一。當 |r| < 1 時它的快速衰減，也是許多近似的誤差估計的基礎。