冪級數

冪級數就像一個長度無限的多項式:它不在某個最高次項處停下,而是不斷加入 a_0、a_1 x、a_2 x^2、a_3 x^3 等等,永無止境。每一項都是變數比上一項再高一次冪,再乘以一個稱為係數的數。許多熟悉的函數——指數函數、正弦、餘弦、對數——其實都是偽裝成無窮多項式的形式。

形式上,以點 a 為中心的冪級數是形如 sum_{n=0}^無窮 c_n (x - a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + ... 的級數,其中 c_n 是固定的實數(或複數),x 是變數。數 a 稱為中心,c_n 稱為係數。對每個固定的 x,這都是一個普通的無窮級數,因此它要麼收斂到某個數,要麼發散。

關鍵事實是:使級數收斂的 x 的集合從不是任意的——它在實數情形下總是一個以 a 為中心的區間,在複數情形下則是一個圓盤,可能還附帶一些邊界點。在這個區域內部,級數定義了一個函數,而這個函數光滑且性質良好到無以復加。因此冪級數既是(對每個 x 而言的)一個數項級數,又是逐項構造函數的配方。