冪級數與解析函數
收斂區間
如果說收斂半徑告訴你良好行為區域有多寬,那麼收斂區間就是你實際被允許代入的實數自變數清單。它由半徑給出的開區域,再加上對兩個端點各自是否納入的最終裁定組成。
對半徑為 R 的實冪級數 sum c_n (x - a)^n(設 0 < R < 無窮),收斂區間是 (a - R, a + R)、[a - R, a + R)、(a - R, a + R] 或 [a - R, a + R] 這四種區間之一,取決於級數在左端點 a - R、右端點 a + R、二者皆收斂還是皆不收斂。當 R = 無窮時區間是整條實軸;當 R = 0 時區間只是單點 {a}。
確定區間分兩步。先求 R,通常用比值或根值判別法,這就解決了開區間內的一切。然後分別檢驗每個端點:把它代入並應用普通的級數判別法——交錯級數判別法、比較判別法、p-級數等等。兩端點是真正獨立的:級數可以在一端收斂而在另一端發散。
級數 sum x^n / n^2 有 R = 1。在 x = 1 處它是 sum 1/n^2 = pi^2/6(收斂);在 x = -1 處它是 sum (-1)^n / n^2(絕對收斂)。故收斂區間是閉區間 [-1, 1]。
一個閉收斂區間:兩端點都包含。
另見