冪級數與解析函數
收斂半徑
把冪級數想像成從中心發出的廣播訊號。靠近中心時訊號強,級數收斂;離得太遠時訊號崩潰,級數發散。收斂半徑衡量這種良好行為能延伸多遠——即從中心到收斂最終失效之處的距離。
確切地說,對冪級數 sum c_n (x - a)^n,存在一個數 R 屬於 [0, 無窮],稱為收斂半徑,具有如下性質:當 |x - a| < R 時級數絕對收斂,當 |x - a| > R 時級數發散。允許 R = 0(僅在中心收斂)和 R = 無窮(處處收斂)兩種情形。集合 |x - a| < R 在實軸上是收斂開區間,在複平面上則是收斂開圓盤。
收斂半徑完全由係數決定,可經柯西-阿達馬公式求得。但收斂半徑不能告訴你:在邊界 |x - a| = R 上究竟會發生什麼——在那裡級數可能在某些點收斂、在另一些點發散,沒有任何統一規則能涵蓋所有情形。這些端點必須逐個考察。
對 sum x^n / n,比值判別法給出 |x| < 1,故 R = 1。在 x = 1 處它是調和級數(發散);在 x = -1 處它是交錯調和級數(收斂)。半徑相同,端點行為卻相反。
半徑為 1,但兩端點行為各異。
為何是半徑而非某種古怪形狀?因為在某一點的絕對收斂會迫使每個更近的點也收斂(阿貝爾引理):若 sum c_n z^n 收斂,則各項有界,用幾何比較即可處理所有更小的 |x|。正是這種對稱性產生了圓形區域。
另見