柯西-阿達馬定理

收斂半徑到底有多大?柯西-阿達馬定理用一個完全普適的公式給出答案。它考察係數增長得多快——用其 n 次方根來度量——並直接讀出半徑。無需逐個判別法地猜測:一個公式,永遠正確。

定理表述:對 sum c_n (x - a)^n,令 L = limsup_{n->無窮} |c_n|^{1/n}。則收斂半徑為 R = 1/L,約定當 L = 0 時 R = 無窮,當 L = 無窮時 R = 0。之所以出現上極限(而非普通極限),是因為 |c_n|^{1/n} 未必收斂;上極限捕捉的是最大的持續增長率,而這正好掌控著各項的最壞情形行為。

這比比值判別法更強大:後者使用 |c_{n+1}/c_n| 的極限,且僅當該極限存在時才有效。基於根值的上極限在擴展實數中總是存在,因此柯西-阿達馬公式對每個冪級數都無例外地給出 R。當比值極限確實存在時,它與根值結果一致,故只要適用,較簡單的比值判別法是有效的捷徑。