阿貝爾定理

冪級數在其收斂區間內部安全地定義了一個函數。但最邊緣處——端點——又如何呢?那裡的收斂十分微妙。若級數恰好在該處也收斂,它所求得的函數是否與你從內部趨近時的極限相符?阿貝爾定理回答:是的,函數平滑地銜接到它的端點值,沒有任何跳躍。

表述:設 sum c_n 收斂(收斂到 S)。則冪級數 f(x) = sum c_n x^n 的收斂半徑至少為 1,且滿足 lim_{x->1^-} f(x) = S。換言之,若級數在邊界點 x = 1 處收斂,則其和等於 f 當 x 從內部沿左側趨近 1 時的極限。經重新縮放後,在任一端點處同樣成立。

該定理的價值在於:它讓你能透過計算一個已知函數的極限來求出某級數之和。其逆命題為假且重要:即便 sum c_n 發散,f(x) 當 x -> 1^- 時仍可能有極限(例如 sum (-1)^n 對應 f(x) = 1/(1+x) -> 1/2,而級數並不收斂)。要從極限的存在反推級數的收斂,需要額外的假設——那便是陶伯型定理。