阿貝爾求和

分部積分是把一個困難的乘積積分換成較易積分的招法。阿貝爾求和是它的離散孿生:一種重新組合乘積之和 sum a_n b_n 的方法,使你不再處理原始項,而改用部分和與差分。它是許多級數收斂判別法背後的代數引擎。

恆等式(分部求和):令 A_n = a_1 + a_2 + ... + a_n 為 (a_n) 的部分和。則 sum_{n=1}^N a_n b_n = A_N b_N - sum_{n=1}^{N-1} A_n (b_{n+1} - b_n)。乘積 a_n b_n 藉助部分和 A_n 與 b_n 的相鄰差分被重新表示,恰好對應於 u dv 的積分化為 uv 減去 v du 的積分。

當一個因子的部分和有界、另一個因子單調減到零時,它的威力便顯現出來。此時 A_N b_N 保持受控,差分項漂亮地相消,從而迫使收斂——這正是狄利克雷判別法與阿貝爾判別法背後的機制,它們把交錯級數判別法推廣到像 sum (cos n x)/n 這樣的級數。阿貝爾求和純屬代數,因而無需連續性或可微性;它是馴服乘積級數的工具。