分部積分

分部積分是乘積法則的倒著運行。乘積法則說一個乘積的導數分攤到兩個因子上;對這個恆等式積分,就能把一個你算不出的積分換成一個你能算的,辦法是把導數從一個因子轉移到另一個因子上。每當被積函數是兩類不相干函數的乘積時,它是最後的求助手段。

確切地說,若 u 與 v 在 [a, b] 上連續可導,則 u(x) v'(x) dx 從 a 到 b 的積分等於 [u(x) v(x)] 在端點處的取值之差,再減去 u'(x) v(x) dx 從 a 到 b 的積分。簡寫為:u dv 的積分 = uv - v du 的積分。在端點處取值的邊界項 uv 承載了乘積法則歸於整個乘積的那部分貢獻。

它的推導是對恆等式 (uv)' = u'v + uv' 積分,並對左邊應用基本定理。這些假設保證 u'v 與 uv' 可積,且基本定理適用。反覆施用可把多項式對指數函數逐步消去,而一次巧妙的施用則給出遞推公式——但選哪個因子去求導是一門藝術,而非一套演算法。