原函數

原函數回答這樣一個問題:哪個函數以它為導數?如果導數告訴你汽車每一瞬間的速度,原函數就重建它的位置。倒轉求導,是通過基本定理求值積分背後核心的計算訣竅。

形式地說,F 是 f 在區間 I 上的原函數,如果 F 在 I 上可導且對所有 x 屬於 I 都有 F'(x) = f(x)。原函數從不唯一:若 F 是其一,則對任意常數 C,F + C 也是;而在連通區間上這些就是全部,因為導數相等的兩個函數相差一個常數(中值定理的推論)。

擁有原函數與可積是不同的性質。一個函數可以有原函數卻不連續——達布定理說任何導數都具有介值性質,所以導數可以相當狂野卻仍是某函數的原函數。反之,一個可積函數可能沒有任何原函數;例如帶跳躍的階梯函數不可能是任何函數的導數,因為導數從不跳躍。