中值定理

一趟公路旅行在一小時內平均時速 60 英里，常識告訴你：在某個單一瞬間，你的速度表讀數必定恰為 60。你的平均速度在途中某處被實現為瞬時速度。中值定理就是這種確定性的嚴謹形式。

陳述：若 f 在 [a, b] 上連續，在 (a, b) 上可微，則存在 c 屬於 (a, b)，使 f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。從幾何上看，某處的切線平行於過端點的割線。證明：減去那條割線，構造 g(x) = f(x) - [f(a) + ((f(b) - f(a))/(b - a))(x - a)]；則 g(a) = g(b)，由羅爾定理得 g'(c) = 0，整理即得結論。

中值定理是微分學的主力，遠不只是趣談：它是從導數的局部值通往函數整體行為的橋樑。由它可推出：在區間上導數為零的函數是常數，兩個原函數相差一個常數，以及各種單調性判別法和關鍵的誤差估計。與羅爾定理一樣，它只斷言某個 c 存在，而不指明是哪一個。