嚴謹的微分理論
遞增函數判別法
如果你每一瞬間的速度都為正，你就一直向前、絕不倒退——於是你的位置隨時間遞增。遞增函數判別法正是把這種直覺嚴謹化：在一個區間上斜率始終為正的函數，必在整個區間上遞增。
陳述：設 f 在區間 I 上連續，在其內部可微。若對所有內部的 x 都有 f'(x) > 0，則 f 在 I 上嚴格遞增；若處處 f'(x) >= 0，則 f 不減（而 f'(x) <= 0 給出不增，f'(x) = 0 給出常數）。證明是中值定理的直接應用：對 I 中任意 a < b，有 f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)（某個 c），而 f'(c) 的符號控制 f(b) - f(a) 的符號。
兩點誠實的微妙之處。其一，嚴格遞增並不要求處處 f' > 0——f(x) = x^3 嚴格遞增卻有 f'(0) = 0，所以導數為正對於嚴格單調是充分而非必要條件。其二，區間至關重要：該判別法在一個連通區間上斷定單調性，而非在不連通的定義域上；在後者，每一片上 f' > 0 並不給出各片之間的任何關係。
f(x) = x^3 有 f'(x) = 3x^2 >= 0，且 f'(0) = 0 是唯一的零點；儘管如此，f 在整個 R 上嚴格遞增——單獨一個零斜率點並不能阻止上升。
導數為正迫使遞增；反方向則容許孤立的平坦點。
一個允許孤立零點的、關於嚴格遞增的簡潔充分條件：若在區間上 f' >= 0，且 f' = 0 僅在孤立點處成立（即 f' 不在任何子區間上恆為零），則 f 仍嚴格遞增。
又稱
另見