柯西中值定理

想像兩位旅人在同一段時間窗內各自沿自己的路線奔跑。普通中值定理是拿一位旅人的進度與時鐘相比。柯西的版本則改為把兩位旅人彼此相比，並找到一個瞬間，使他們的速度之比恰等於他們總位移之比。

陳述：若 f 與 g 在 [a, b] 上連續、在 (a, b) 上可微，則存在 c 屬於 (a, b)，使 (f(b) - f(a)) g'(c) = (g(b) - g(a)) f'(c)。當 g(b) 不等於 g(a) 且 g'(c) 不為 0 時，可整理為 (f(b) - f(a)) / (g(b) - g(a)) = f'(c) / g'(c)——導數之比等於總變化量之比。取 g(x) = x 即還原為普通中值定理。

標準證明是對輔助函數 h(x) = (f(b) - f(a)) g(x) - (g(b) - g(a)) f(x) 應用羅爾定理，它滿足 h(a) = h(b)；於是 h'(c) = 0 恰是所要的斷言。注意對稱的乘積形式無需任何不為零的假設，而分式形式要求 g(b) 不等於 g(a)；把它寫成對兩個函數共用同一個 c（而非兩個不同的點），正是該定理威力之所在。