泰勒餘項

當你用泰勒多項式逼近一個函數時，你是在有意捨棄某個次數以上的一切。泰勒餘項是對你究竟捨棄了什麼的誠實記帳——真實函數與其多項式逼近之間的差距。精通分析意味著：不界定這個差距就絕不逼近。

定義：設 P_n 為 f 在 a 處的 n 次泰勒多項式，則餘項為 R_n(x) = f(x) - P_n(x)。它的大小由下一階導數支配。拉格朗日形式為 R_n(x) = (f^(n+1)(xi)/(n+1)!)(x - a)^(n+1)，其中 xi 嚴格介於 a 與 x 之間（設 f^(n+1) 在該區間上存在）。積分形式 R_n(x) = (1/n!) integral_a^x f^(n+1)(t)(x - t)^n dt 要求 f^(n+1) 連續，但不含未知的 xi。

實際收益是一個數值誤差界：若在 a 與 x 之間的區間上 |f^(n+1)| <= M，則 |R_n(x)| <= M |x - a|^(n+1) / (n+1)!。例如，正是憑此可證明 e^x、sin 與 cos 的泰勒級數處處收斂於這些函數——辦法是證明餘項趨於 0。一條常備警告：在某一點對某個固定 n 餘項很小，並不能說明任何整體性質；級數收斂要求當 n -> 無窮 時 R_n(x) -> 0，而即便對光滑函數這也可能失敗。