羅爾定理

把球豎直向上拋：它離開你的手，之後又回到同一高度。中間某處它必定停止上升、轉而下落，在那一瞬間它的豎直速度為零。羅爾定理就是把這個日常事實陳述給任何起止取同一值的光滑函數。

陳述：若 f 在閉區間 [a, b] 上連續，在開區間 (a, b) 上可微，且 f(a) = f(b)，則在 (a, b) 中至少存在一點 c 使 f'(c) = 0。證明：由極值定理，f 在 [a, b] 上取到最大值與最小值；若二者都在端點取得，則 f 為常數且處處 f' = 0，否則某個極值落在內部，費馬定理給出該處 f'(c) = 0。

每個假設都不可或缺。若內部不可微，[-1, 1] 上的 f(x) = |x| 滿足 f(-1) = f(1)，卻沒有導數為零的點。若在端點處不連續，結論同樣可能失效。該定理只承諾至少存在一個這樣的 c；它不告訴你 c 在哪裡，也不告訴你有多少個。