利普希茨連續

設想一個函數,它的圖像永遠不許比某個固定斜率更陡——無論你看哪裡,它的上升或下降速率都有界。這個「限速」正是利普希茨連續:輸出的變化被輸入變化的一個常數倍所控制。

形式上,f 在集合 D 上利普希茨,是指存在一個常數 K >= 0(稱為利普希茨常數),使得對 D 中一切 x、y 都有 |f(x) - f(y)| <= K |x - y|。滿足條件的最小 K 度量了最壞情形的斜率。若 f 在某區間上可微且處處 |f'| <= K,則由中值定理,f 以該常數利普希茨。

利普希茨連續嚴格地介於可微與一致連續之間:利普希茨蘊含一致連續(取 δ = ε/K),但利普希茨函數未必可微(想想 |x|,它以 K = 1 利普希茨,卻在 0 處有尖角)。而一致連續並不蘊含利普希茨:sqrt(x) 在 [0, 1] 上一致連續,但其斜率在 0 處爆炸,因此沒有有限的 K 能奏效。這一條件在微分方程中舉足輕重,它保證解的唯一性。