壓縮映射

壓縮映射把每一對點至少按一個固定比例拉得更近。施行一次，任意兩點都比原先更靠近；反覆施行，整個空間便被穩步擠向單獨一處。它是一種身不由己地把萬物聚攏的映射。

嚴格地說，從度量空間 (X, d) 到自身的映射 T 稱為壓縮，如果存在常數 k 滿足 0 <= k < 1，使得對所有 x, y 屬於 X 都有 d(T(x), T(y)) <= k * d(x, y)。常數 k 即壓縮因子；它必須嚴格小於 1。這一嚴格不等式是本質的——一個僅滿足 d(T(x), T(y)) < d(x, y) 而無統一的小於 1 因子的映射，未必具有同樣強大的後果。

每個壓縮映射都自動連續，實則以常數 k 為利普希茨連續。它真正的威力顯現於完備空間：在那裡它必有恰好一個不動點，而從任意起點迭代該映射會逕直把你帶向它。這正是巴拿赫不動點定理的內容。