拓撲學基礎
連續映射（拓撲）
連續性是一種承諾：映射不把東西撕裂——起初彼此鄰近的點，最終仍彼此鄰近。在微積分裡這是 epsilon–delta 的舞步，可距離恰恰是拓撲所拋棄的東西。精妙之處在於只用開集重新表述整個想法，使它在任何拓撲空間中都成立。
從空間 X 到空間 Y 的映射 f 是連續的，如果每個開集的原像都是開集：只要 V 在 Y 中是開集，那麼映入 V 的全體點所構成的集合 f逆(V) 在 X 中就是開集。等價地，每個閉集的原像都是閉集。注意方向——必須是開集的原像為開，而非開集的像為開；連續映射不必把開集映為開集。
這一條款在度量空間上恢復了我們熟悉的 epsilon–delta 定義，並遵守同樣順手的規則：恆等映射連續，連續映射的複合連續，常值映射連續。它之所以是正確的概念，正因為它只由拓撲空間唯一擁有的結構——即開集——構建而成。
從實直線到自身的映射 f(x) = x^2 是連續的：開區間 (1, 4) 的原像是 (-2, -1) ∪ (1, 2)，它是開集。但 f 並不把開集 (-1, 1) 映為開集——它的像是 [0, 1)，並非開集。連續性控制的是原像，而非像。
在 x^2 下開集的原像保持為開，但開集的像不必為開。
連續性可以是局部的：f 連續當且僅當它在每點都連續，而在 p 處連續意味著 f(p) 的每個鄰域都有一個 p 的鄰域映入其中。要檢驗連續性，只需檢查基（甚至子基）元素的原像，而非所有開集。
又稱
另見