函數極限的 ε-δ 定義

把它想成懷疑者與辯護者之間的一場談判。懷疑者給出一個容差——輸出必須落得離 L 多近。辯護者則必須回以一個對輸入的容差——輸入要離 a 多近才能保證做到這點。若辯護者總能應對任何挑戰,極限便成立。ε 是懷疑者要求的輸出容差,δ 是辯護者提供的輸入容差。

形式上,lim_{x->a} f(x) = L 的意思是:對每個 ε > 0,都存在 δ > 0,使得對定義域中滿足 0 < |x - a| < δ 的一切 x,都有 |f(x) - L| < ε。其中嚴格不等式 0 < |x - a| 有意地把 x = a 排除在外,從而編碼了「極限忽略 a 處取值」這條規則。

量詞的次序至關重要。ε 先給出,δ 再據此選取,因此 δ 可以(並且通常確實)依賴於 ε——ε 越小,δ 往往越小。若把次序顛倒、或讓 δ 先出現,定義出的就是完全不同且通常不成立的東西。能流暢地讀寫這條定義,是邁入嚴格分析的門檻。