巴拿赫不動點定理

巴拿赫不動點定理是把反覆逼近變成確切保證的主力。如果一個映射以統一的因子擠壓一個完備空間，那麼它有且僅有一個被它保持不動的點，而你只需從任意處出發，一次又一次地施行該映射，就能找到這個點。

確切地說：設 (X, d) 是非空完備度量空間，T: X -> X 是因子 k < 1 的壓縮映射。則 T 有唯一不動點 x-star，即 T(x-star) = x-star。此外，對任意起點 x_0，迭代 x_{n+1} = T(x_n) 都收斂到 x-star，並有顯式誤差界 d(x_n, x-star) <= k^n / (1 - k) 乘以 d(x_1, x_0)。

三個前提缺一不可：完備性確保迭代構成的柯西序列確有極限；嚴格的界 k < 1 迫使迭代成為柯西序列且不動點唯一；而 T 必須把 X 映入自身。去掉完備性，或允許 k = 1，唯一性或存在性都可能失效。該定理是微分方程存在唯一性證明（皮卡定理）以及反函數定理與隱函數定理背後的引擎。