多元分析
反函數定理
若一個光滑映射在某點最佳的線性逼近是可逆的——它拉伸空間卻不壓垮任何方向——那麼映射本身（至少在附近）就能被還原。直覺如此：導數的可逆性，一個純線性代數的條件，足以保證整個非線性映射在局部是乾淨的雙向對應。
精確地說：設 f: R^n -> R^n 在某開集上連續可微（C^1），並設在點 a 處雅可比矩陣 Df(a) 可逆（等價地，其行列式非零）。則存在 a 的開鄰域 U 與 f(a) 的開鄰域 V，使 f 把 U 雙射到 V，反映射 f^{-1}: V -> U 也是 C^1，且 D(f^{-1})(f(a)) = (Df(a))^{-1}。
兩點誠實的告誡。結論嚴格是局部的：即使每點的導數都可逆，整體映射仍可能是多對一的——例如一個映射可把某區域捲繞並自我重疊。且假設是充分而非必要的：映射可在導數奇異之處仍可逆，但那時反映射不必可微。
f(x, y) = (e^x cos y, e^x sin y) 的雅可比行列式為 e^{2x}，恆不為零，故 f 處處局部可逆。但它並非整體單射：f(x, y) = f(x, y + 2pi)。處處導數可逆，整體映射卻多對一。
處處局部可逆未必給出整體可逆。
另見