雅可比矩陣

當一個映射把一個空間送入另一個——比如把 (u, v) 變成 (x, y)——它會在每點附近拉伸、旋轉、錯切小塊區域。雅可比矩陣就是精確記錄這一切的帳本：它把每個輸出對每個輸入的所有一階偏導數收進一個矩形陣列，即該映射的局部線性藍圖。

對 f: R^n -> R^m，其分量為 f_1, ..., f_m，在 a 處的雅可比矩陣是 m × n 矩陣 J，其 (i, j) 元為 f_i 關於 x_j 的偏導數在 a 處的值。當 f 可微時，J 恰是全導數 Df(a) 在標準基下的矩陣。對純量函數（m = 1），雅可比矩陣是單獨一行，即梯度的轉置。

當 m = n 時，J 的行列式——雅可比行列式——度量該映射在局部對 n 維體積的縮放因子（其符號記錄定向）。這個行列式是多重積分換元公式的關鍵，也是逆函數定理中可逆性假設的核心。