多元鏈式法則

若你先後進行兩道工序——先拉伸一張橡皮膜，再把它彎折——某點附近的總變形，就是先做一種變形再做另一種。多元鏈式法則對導數所說的正是這件事：複合的線性逼近，就是各線性逼近的複合。用矩陣的話說，就是把雅可比矩陣相乘。

精確地說，若 g: R^n -> R^m 在 a 處可微，f: R^m -> R^k 在 b = g(a) 處可微，則複合 f o g 在 a 處可微，且其全導數為複合線性映射 D(f o g)(a) = Df(b) Dg(a)。用矩陣即雅可比相乘：複合的雅可比矩陣等於兩個雅可比矩陣按此順序的乘積。

多元微積分中那些繁瑣的偏導數鏈式法則——對中間變數求和、沿路徑的 df/dt = sum (df/dx_i)(dx_i/dt)——無非是這一個矩陣乘積寫開後的各個元素。簡潔的線性映射陳述既更易記憶又更易證明，並使相乘的順序（這很重要，因為矩陣不可交換）毫不含糊。