多元分析
全導數
在一元情形，導數是一個數——切線的斜率。在多元情形，誠實的類比不是一個數，而是一整個線性映射：函數在某點附近最佳的平直（線性）逼近。一元微積分交給你一個斜率，多元微積分則交給你一個使空間傾斜的線性變換。
嚴格地說，f: R^n -> R^m 在 a 處（全）可微，其全導數為線性映射 Df(a): R^n -> R^m，是指 f(a + h) = f(a) + Df(a) h + r(h)，其中餘項滿足當 h -> 0 時 |r(h)| / |h| -> 0。全導數存在時是唯一的，且它在標準基下的矩陣恰是由偏導數構成的雅可比矩陣。
這才是正確的、不依賴座標的導數概念。它抓住了幾何內容——切平面、局部線性化——而單純的偏導數會錯過這些。由它出發，鏈式法則讀作線性映射的複合（矩陣相乘），逆函數定理與隱函數定理等也自然湧出。
對 f(x, y) = x^2 + y^2 在點 (1, 1)：Df(1,1)(h, k) = 2h + 2k，即矩陣為 [2, 2] 的線性映射。於是 f(1 + h, 1 + k) = 2 + 2h + 2k + (h^2 + k^2)，餘項 h^2 + k^2 比 sqrt(h^2 + k^2) 更快地趨於零。
全導數即增量的線性部分。
又稱
另見