多元分析
偏導數
假設你站在山坡上，決定只朝正東走、絕不轉彎。你腳下感到的坡度——每向東一步海拔變化的速率——恰好就是一個偏導數。你凍結除一個之外的所有座標，只在那一個方向上測量普通的一元變化率。
嚴格地說，f 關於 x_i 在點 a 處的偏導數，是 (f(a + h e_i) - f(a))/h 當 h -> 0 時的極限，其中 e_i 是第 i 個座標方向。記作 df/dx_i（偏）、f_{x_i} 或 D_i f。計算它無非就是把其餘變數當作常數，做一元求導。
偏導數易於計算，但作為可微性的判據卻很危險。一個函數可以在某點擁有全部偏導數，卻仍在該點不連續。偏導數只探測座標軸方向，對斜方向上的行為一無所知，這正是需要更強的全導數概念的原因。
對 f(x, y) = x^2 y + sin(y)：df/dx = 2xy（把 y 當常數），df/dy = x^2 + cos(y)（把 x 當常數）。在 (1, 0)：df/dx = 0，df/dy = 1 + 1 = 2。
對每個變數各求一次，其餘固定。
全部偏導數存在並不蘊含可微，甚至不蘊含連續。但若所有偏導數在某點附近存在且在該點連續，則函數在該點可微（此時稱為連續可微，或 C^1）。偏導數的連續性是實用的充分條件。
另見