方向導數

偏導數問：若你沿座標軸行進，函數變化多快。方向導數則去掉了這個限制：隨意挑一個方向——東北，或任意羅盤指向——問你朝那走時函數變化多快。它是函數沿過該點的任意一條直線的斜率。

嚴格地說，f 在 a 處沿單位向量 u 方向的方向導數，是 (f(a + t u) - f(a))/t 當 t -> 0 時的極限，常記作 D_u f(a)。偏導數是 u 取座標向量 e_i 的特例。該定義把多元變化率化歸為沿直線 t -> a + t u 的普通一元導數。

若 f 在 a 處可微，則所有方向導數都存在，並服從簡潔公式 D_u f(a) = grad f(a) . u——它們對方向是線性的。但要當心：一個函數可以在某點沿每個方向都有方向導數，卻仍在該點不可微，甚至不連續。方向導數存在比可微更弱。