R^n 中的可微性

多元函數在某點「光滑」應當意味著什麼？誠實的回答沿用一元的思想，但表述要小心：函數應緊貼一張平直的平面，以至於當你放大時，函數與該平面之間的差距比到該點的距離收縮得更快。可微性恰好保證了這樣一個完美貼合的線性逼近存在。

精確地說，f: R^n -> R^m 在 a 處可微，是指存在線性映射 L（即其全導數）使得 f(a + h) = f(a) + L h + r(h)，且當 h -> 0 時 |r(h)| / |h| -> 0。關鍵要求是誤差相對於 |h| 趨於零，而不僅僅是誤差本身趨於零。這一個條件就同時控制了所有逼近方向。

兩點誠實的告誡。其一，可微蘊含連續，但反之不然。其二——這常令初學者驚訝——僅僅所有偏導數存在，遠比可微弱，甚至不能保證連續。一個乾淨的充分條件是：偏導數在 a 附近存在且在 a 處連續，則 f 在 a 處可微。