換元法

有時一個區域在某座標系裡很彆扭，換一個座標系卻很整齊——圓盤在 x、y 中一團糟，在極座標裡卻是乾淨的矩形。換元法讓你把區域重映到更友好的那個，但你須付出代價：一個伸縮因子，用以體現新座標在局部如何壓縮或擴張面積或體積。

精確地說，設 T 是從 R^n 中某開集到另一開集的 C^1 雙射，且其雅可比行列式處處非零。則對可積的 f，f 在 T(U) 上的積分等於 f(T(u)) 乘以 T 的雅可比行列式的絕對值在 U 上的積分。這個額外因子 |det DT| 就是該替換的局部體積縮放；它是一元 du = (du/dx) dx 的多元推廣。

雅可比行列式——不是矩陣，是行列式，且取絕對值——才是要害。漏掉它是最常見的錯誤。極座標下因子是 r；球座標下是 rho^2 sin(phi)。各項假設（雙射、C^1、雅可比非零）可放寬為在一個測度為零的集合外成立，這在實踐中已足夠。