多重積分

單重積分把一個函數在一個區間上累加——想像曲線下的面積。多重積分則在二維、三維乃至更高維的區域上做同樣的事：它把一個函數的值累積在一塊平板、一個實體或更高維區域之上。設想把區域切成微小的小塊，每塊以函數值加權，再求和。

嚴格地說，f 在 R^n 中區域 D 上的黎曼多重積分，是黎曼和的極限：把 D 分成小胞元，把 f 在每個胞元中的值乘以該胞元的 n 維體積，求和，再細化分割。當此極限不依賴於各種選擇而存在時，f 在 D 上可積，其極限記作 f 在 D 上的積分，體積元為 dx（或 dV）。

對平面區域上的非負 f，二重積分是圖像下方的體積；對一個實體，當 f 是密度時，三重積分可給出質量。除一個測度為零的集合外處處連續的有界函數是可積的——而實踐中我們幾乎從不直接計算極限。相反，我們藉助富比尼定理把多重積分化為累次單重積分。