黎曼積分
換元積分
換元是鏈式法則的反向閱讀。鏈式法則告訴你複合函數的導數如何吸收內層的變化率;換元解除這種吸收,讓你給積分變量改名,使雜亂的被積函數化為整潔的。你察覺到一個內層函數與它的導數潛伏在一起,再把它們塌縮成一個新變量。
確切地說,若 g 在 [a, b] 上連續可導,且 f 在 g 的值域上連續,則 f(g(x)) g'(x) dx 從 a 到 b 的積分等於 f(u) du 從 g(a) 到 g(b) 的積分。因子 g'(x) dx 恰好變成 du;上下限隨變量一起變換,這正是新界限為 g(a) 與 g(b) 而非 a 與 b 的原因。
其依據是令 F 為 f 的原函數,由鏈式法則得 (F(g(x)))' = f(g(x)) g'(x),再對兩邊應用基本定理。連續性假設保證原函數存在且積分有意義。對不定積分,最後須把變量代回原來的;對定積分,變換上下限則免去這一步,只要你正確地變換它們。
求 2x cos(x^2) dx 從 0 到 sqrt(pi) 的積分:令 u = x^2,du = 2x dx;上下限變為 0 與 pi,故它等於 cos u du 從 0 到 pi 的積分 = sin(pi) - sin(0) = 0。
察覺到內層函數 x^2 及其導數 2x,正是換元奏效的關鍵。
在多元情形,換元變為換元公式,其中 g'(x) 被雅可比行列式的絕對值取代。一元版本把符號藏在了上下限的定向之中。
又稱
另見