微積分基本定理

求導度量瞬時變化率;積分累積總變化量。基本定理說這兩種運算互為逆運算:累積一個變化率再求導,會把變化率還回來;對一個量求導再累積它的變化率,會返回淨變化。這正是你能僅靠倒轉一個導數來計算困難面積的原因。

它有兩部分。第一部分說:若 f 在 [a, b] 上連續,且 F(x) 是 f 從 a 到 x 的積分,則 F 可導且 F'(x) = f(x):至今為止的面積函數求導後回到被積函數。第二部分(求值法則)說:若 g 是黎曼可積函數 f 的任一原函數,在 [a, b] 上 g' = f,則 f 從 a 到 b 的積分等於 g(b) - g(a)。

假設很重要且常被含糊帶過。第一部分需要 f 在所論點處連續,才能在那裡斷言可導;在跳躍間斷點處面積函數連續卻不可導。第二部分不要求 f 連續,只要它黎曼可積且處處有原函數——但要當心:並非每個黎曼可積函數都有原函數,也並非每個有原函數的函數都黎曼可積,所以這兩部分是真正分立的陳述。