部分和

既然你無法一次把無窮多個數全部加完，那就在某個階段停下，只把已有的加起來。在前 N 項之後停下所得的結果，就是第 N 個部分和。隨著 N 增大，這些快照刻畫了加法的進程，而整個級數的命運，正由這些快照的走向所決定。

確切地說，對級數 sum a_n，第 N 個部分和為 s_N = a_1 + a_2 + ... + a_N，這是一個完全普通的有限和，因此對每個 N 都是一個真正的數。這些部分和構成一個序列 (s_N)，而級數收斂當且僅當此序列有有限極限。因此從技術上說，研究級數就是研究由各項所構造出的這一個特定序列。

一個有用的恆等式聯繫起兩種視角：a_N = s_N - s_{N-1} 可由相鄰部分和還原出每一項。這正是為何級數與其部分和序列編碼了完全相同的資訊，只是包裝方式不同——一個以增量呈現，另一個以累積總和呈現。