裂項級數

裂項級數是其各項被刻意寫成差的級數，於是當你把它們加起來時，幾乎一切都相消——就像一架可摺疊的單筒望遠鏡滑動閉合，只剩下兩端。中間的項成相鄰成對地湮滅，部分和便簡化為只含首項與最後倖存項的一個簡潔表達式。

形式上，設對某序列 b_n 有 a_n = b_n - b_{n+1}。則部分和裂項相消：s_N = (b_1 - b_2) + (b_2 - b_3) + ... + (b_N - b_{N+1}) = b_1 - b_{N+1}。因此級數 sum a_n 收斂當且僅當 b_{N+1} 在 N -> 無窮時有極限，且當其有極限時，和等於 b_1 - lim b_N。這把關於級數的收斂問題直接化為關於輔助序列 b_n 的極限問題。

裂項是少數幾種能得到精確和、而不僅是收斂結論的情形之一，因此在例題與推導封閉形式時備受珍視。技巧在於識別或構造出這種差的結構，常藉助部分分式；並非每個級數都能裂項，但許多教科書裡的和暗中都能。